Как сделать невозможную фигуру своими руками

Придумано несколько невозможных фигур — лестница, треугольник и х-зубец. Эти фигуры на самом деле в объемном изображении вполне реальны. Но когда художник проектирует объем на бумагу, объекты кажутся невозможными. Треугольник, который еще носит название «трибар», стал замечательным примером того, как невозможное становится возможным, когда прикладываешь усилия.

Все эти фигуры — прекрасные иллюзии. Достижения человеческого гения используют художники, которые рисуют в стиле имп-арт.

Треугольник Пенроуза. Что это такое?

Нет ничего невозможного. Так можно сказать про треугольник Пенроуза. Это геометрически невозможная фигура, элементы которой не могут быть соединены. Все-таки невозможный треугольник стал возможным. Шведский живописец Оскар Реутерсвард в 2019 г. представил миру невозможный треугольник из кубиков. О. Реутерсвард считается первооткрывателем этой зрительной иллюзии. В честь этого события на почтовой марке Швеции напечатали позже этот рисунок.

А в 2019 г. математиком Роджером Пенроузом была напечатана публикация в английском журнале о невозможных фигурах. Именно он создал научную модель иллюзии. Роджер Пенроуз был невероятным ученым. Он проводил исследования в области теории относительности, а также увлекательной квантовой теории. Его наградили премией Вольфа совместно с С. Хокингом.

Известно, что художник Мауриц Эшер, находясь под впечатлением этой статьи, нарисовал свою изумительную работу — литографию «Водопад». Но возможно ли сделать треугольник Пенроуза? Как сделать, если это возможно?

Трибар и реальность

Хоть и фигура считается невозможной, сделать треугольник Пенроуза своими руками — легче простого. Его можно сделать из бумаги. Любители оригами просто не могли обойти стороной трибар и нашли все же способ создать и подержать в руках вещь, которая казалась ранее запредельной фантазией ученого.

Однако нас обманывают собственные глаза, когда мы смотрим на проекцию трехмерного объекта из трех перпендикулярных линий. Наблюдателю кажется, что он видит треугольник, хотя на самом деле это не так.

Геометрия поделки

Треугольник трибар, как сказано, на самом деле треугольником не является. Треугольник Пенроуза — иллюзия. Лишь под определенным углом объект выглядит как равносторонний треугольник. Однако объект в натуральном виде — это 3 грани куба. На такой изометрической проекции совпадают на плоскости 2 угла: ближний от зрителя и дальний.

Оптический обман, конечно, быстро раскрывается, лишь только взять этот объект в руки. А еще раскрывает иллюзию тень, так как тень трибара ясно показывает, что углы не совпадают в реальности.

Трибар из бумаги. Схемы

Как сделать треугольник Пенроуза своими руками из бумаги? Есть ли схемы этой модели? На сегодня изобретены 2 разверстки для того, чтоб сложить такой невозможный треугольник. Основы геометрии подсказывают, как именно складывать объект.

Чтобы сложить треугольник Пенроуза своими руками, понадобится выделить всего 10–20 минут. Нужно подготовить клей, ножницы для нескольких разрезов и бумагу, на которой печатается схема.

Из такой заготовки получается самый популярный невозможный треугольник. Поделка-оригами не слишком сложна в изготовлении. Поэтому получится обязательно с первого раза, причем даже у школьника, только начавшего изучать геометрию.

Как видим, получается очень симпатичная поделка. Вторая заготовка выглядит иначе и складывается по-другому, но сам треугольник Пенроуза в итоге выглядит так же.

Этапы создания треугольника Пенроуза из бумаги.

Выберите одну из 2 удобных для вас заготовок, скопируйте файл и распечатайте. Приведем здесь пример и второй модели разверстки, которая выполняется немного проще.

Сама заготовка для оригами «Трибар» уже содержит все необходимые подсказки. По сути, инструкция к схеме не требуется. Достаточно только скачать на плотный бумажный носитель, иначе работать будет неудобно и фигура не получится. Если нельзя сразу распечатать на картоне, то требуется приложить эскиз к новому материалу и по контуру вырезать чертеж. Для удобства можно скрепить скрепками.

Что делать затем? Как сложить треугольник Пенроуза своими руками поэтапно? Нужно следовать такому плану действий:

  1. Наводим обратной стороной ножниц те линии, где нужно согнуть, согласно инструкции. Сгибаем все линии
  2. Там, где нужно, делаем разрезы.
  3. Склеиваем с помощью ПВА те лоскутки, что предназначены для скрепления детали в единое целое.

Готовую модель можно перекрасить в любой цвет, или заранее взять для работы цветной картон. Но даже если объект будет из белой бумаги, все равно, все, кто входит в вашу гостиную впервые, будут непременно обескуражены такой поделкой.

Рисунок треугольника

Как нарисовать треугольник Пенроуза? Не все любят заниматься оригами, но многие обожают рисовать.

Для начала изображается обычный квадрат любого размера. Затем внутри рисуется треугольник, основой которого является нижняя сторона квадрата. В каждый угол вписывается небольшой прямоугольник, все стороны которого стираются; остаются лишь те стороны, что примыкают к треугольнику. Это необходимо, чтобы линии были ровными. Получается треугольник с усеченными углами.

Следующий этап — изображение второго измерения. От левой части верхнего нижнего угла проводится строго прямая линия. Такая же линия проводится, начиная с нижнего левого угла, и немного не доводится до первой линии 2 измерения. Еще одна линия рисуется с правого угла параллельно нижней стороне основной фигуры.

Заключительный этап — внутри второго измерения рисуется третье с помощью еще трех небольших линий. Маленькие линии начинаются от линий второго измерения и завершают образ трехмерного объема.

Другие фигуры Пенроуза

По такой же аналогии можно нарисовать и иные фигуры — квадрат либо шестиугольник. Иллюзия будет соблюдаться. Но все же эти фигуры уже не так потрясают воображение. Такие многоугольники кажутся просто сильно перекрученными. Современная графика позволяет сделать и более интересные версии знаменитого треугольника.

Кроме треугольника, всемирно известна еще и лестница Пенроуза. Идея состоит в обмане зрения, когда кажется, что человек поднимается непрерывно вверх при движении по часовой стрелке, а если движется против часовой стрелки, то вниз.

Непрерывная лестница известна больше по ассоциации с картиной М. Эшера «Восхождение и спуск». Интересно, что, когда человек проходит все 4 пролета этой иллюзорной лестницы, он неизменно оказывается там, откуда начинал.

Известны и другие объекты, вводящие разум человека в заблуждение, такие как невозможный брусок. Или сделанный по тем же законам иллюзии ящик с пересекающимися гранями. Но все эти объекты уже придуманы на основе статьи замечательного ученого — Роджера Пенроуза.

Невозможный треугольник в Перте

Фигуре, названной в честь математика, оказана честь. Ей установлен памятник. В 2019 году в одном из городов Австралии (Перт) установлен большой треугольник Пенроуза из алюминия, который составляет 13 метров в высоту. Рядом с алюминиевым гигантом с удовольствием фотографируются туристы. Но если выбрать для фотографии другой угол зрения, то обман становится очевидным.


11 марта, 2019 — 16:21 ~ ЛютикА

Здорово! Как интересно получается! спасибо за развёртки!


11 марта, 2019 — 23:00 ~ Schatten

Здорово!!! Особенно треугольник…. давно такое видела, но без схемы(( а Вам спасибо!


13 марта, 2019 — 18:30 ~ anel

УРА!!!У меня тоже получилось,действительно обман зрения,но как интересно!!!!


29 апреля, 2019 — 17:49 ~ rinswindl

А что именно не получается.

Смотреть лучше прищурив один глаз. Т.к. грани сливаются только при одном конкретном ракурсе


30 апреля, 2019 — 13:44 ~ lenoksheg

здравствуйте.ни че у меня не сливается,т.к.я даже склеить не могу распечатала развертку,вырезала,склеила где загогулинки нарисованы и … получилась ерунда какая то.


30 апреля, 2019 — 20:27 ~ rinswindl

получился уголок. планка горизонтальная лежащая на столе, от нее планка вверх, от нее планка вбок и еще некоторая плоская часть. эта плоская часть должна как-бы наложится (зрительно) на одну грань планки лежащей на столе.


26 мая, 2019 — 08:31 ~ Ленуська Лемтюгина

у меня что то не сходится фигура( может где то подрезать надо, а я не поняла, а то  она у меня не сгибается даже(


26 мая, 2019 — 09:37 ~ rinswindl

Там не должен получаться треугольник. Там после склейки получаются три балки. горизонтальная, вертикальная от нее горизонтальная перпендикулярная нижней горизонтальной. И еще не объемная вертикальная деталька. Эта деталька при некотором угле обзора (прищурьте один глаз) должна сливаться с боковой гранью нижней горизонтальной балки. И вуаля кажется что это цельный треугольник.


26 мая, 2019 — 16:54 ~ Ленуська Лемтюгина

это то я поняла, но вот балки у меня то и не получаются(( там точно нигде подрезать ненадо у меня цельная вырезка) просто мне кажется если подвезать все сойдется и обьемные и необьемная балки)

Способность создавать и оперировать пространственными образами характеризует уровень общего интеллектуального развития человека. В психологических исследованиях экспериментально подтверждено, что между склонностью человека к соответствующим профессиям и уровнем развития пространственных представлений имеет место статистически достоверная связь. Широкое применение невозможных фигур в архитектуре, живописи, психологии, геометрии и во многих других областях практической жизни дают возможность больше узнать о различных профессиях и определиться с выбором будущей профессии.

Ключевые слова: трибар, бесконечная лестница, космическая вилка, невозможные ящики, треугольник и лестница Пенроуза, куб Эшера, треугольник Рейтерсвэрда.

Цель исследования: изучение свойств невозможных фигур с помощью с помощью 3-D моделей.

Задачи исследования:

  1.                Изучить виды и составить классификацию невозможных фигур.
  2.                Рассмотреть способы построения невозможных фигур.
  3.                Создать невозможные фигуры с помощью компьютерной программы и 3D моделирования.

Понятие невозможных фигур

Объективного понятия «невозможные фигуры» не существует. Из одного источника невозможная фигура — вид оптических иллюзий, фигура, кажущаяся проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. А из другого источника невозможные фигуры — это геометрически противоречивые изображения объектов, не существующих в реальном трёхмерном пространстве. Невозможность возникает из противоречия между подсознательно воспринимаемой геометрией изображённого пространства и формально-математической геометрией.

Анализируя разные определения, приходим к выводу:

невозможная фигура — это плоский рисунок, который создает впечатление трехмерного объекта таким образом, что объект, предложенный нашим пространственным восприятием, не может существовать, так что попытка создать его ведет к (геометрическим) противоречиям, ясно видимыми наблюдателем.

Когда мы смотрим на изображение, которое создает впечатление пространственного объекта, наша система пространственного восприятия пытается найти пространственную форму, определить ориентацию и структуру, начиная с анализа отдельных фрагментов и намеков на глубину. Далее, эти отдельные части комбинируются и координируются в некотором порядке для создания общей гипотезы о пространственной структуре объекта целиком. Обычно, несмотря на то, что плоское изображение может иметь бесконечное множество пространственных интерпретаций, наш механизм интерпретации выбирает только одну — наиболее естественную для нас. Именно эта интерпретация изображения далее проверяется на возможность или невозможность, а не сам рисунок. Невозможная интерпретация получается противоречивой по своей структуре — различные частичные интерпретации не подходят к общему непротиворечивому целому.

Фигуры являются невозможными, если их естественные интерпретации оказываются невозможными. Однако, это не подразумевает, что не существует какой-либо другой интерпретации этой же фигуры, которая может существовать. Таким образом, нахождение метода точного описания пространственных интерпретаций фигур является одним из основных путей для дальнейшей работы с невозможными фигурами и механизмами их интерпретации. Если суметь описать различные интерпретации, то можно будет сравнивать их, соотносить фигуру и ее различные интерпретации (понять механизмы создания интерпретаций), проверять их соответствие или определять типы несоответствия и т. п.

Виды невозможных фигур

Невозможные фигуры разделяются на два больших класса: одни имеют реальные трехмерные модели, а для других такие создать невозможно.

В ходе работы над темой изучены 4 вида невозможных фигур: трибар, бесконечная лестница, невозможные ящики и космическая вилка. Все они уникальны по-своему.

Трибар (треугольник Пенроуза)

Это геометрически невозможная фигура, элементы которой не могут быть соединены. Все-таки невозможный треугольник стал возможным. Шведский живописец Оскар Рейтесвэрд в 1934 г. впервые представил миру невозможный треугольник из кубиков. В честь этого события в Швеции издана почтовая марка. Трибар можно сделать из бумаги. Любители оригами нашли способ создать и подержать в руках вещь, которая казалась ранее запредельной фантазией ученого.

Однако нас обманывают собственные глаза, когда мы смотрим на проекцию трехмерного объекта из трех перпендикулярных линий. Наблюдателю кажется, что он видит треугольник, хотя на самом деле это не так.

Бесконечная лестница.

Конструкция, которая не имеет ни конца, ни края, была придумана биологом Лейонелем Пенроузом и его сыном-математиком Роджером Пенроузом. Впервые модель была опубликована в 1958 г., после чего получила большую популярность, стала классической невозможной фигурой, а ее основная концепция нашла применение в живописи, архитектуре, психологии. Модель ступеней Пенроуза обрела самую большую популярность по сравнению с остальными нереальными фигурами в сфере компьютерных игр, головоломках, оптических иллюзиях. «Вверх по ступеням, ведущим вниз» — так можно охарактеризовать лестницу Пенроуза. Идея этой конструкции заключается в том, что при движении по часовой стрелке ступени ведут все время вверх, а в обратном — вниз. При этом «вечная лестница» состоит всего из четырех пролетов. А значит, всего через четыре лестничных марша путник оказывается там же, откуда начал движение.

Невозможные ящики.

Еще один невозможный объект появился в 2019 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с «Сумасшедшим ящиком». Первоначально автор назвал ее «свободным ящиком» и заявил, что она была «сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве». «Сумасшедший ящик» — это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником «Сумасшедшего ящика» была «Невозможная коробка» (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера. Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно. Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.

Космическая вилка.

Среди всех невозможных фигур особое место занимает невозможный трезубец («космическая вилка»). Если закрыть рукой правую часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину — три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину — два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается, что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных.

Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект — плоские грани правой части трезубца становятся круглыми в левой. Эффект невозможности достигается за счет того, что наш мозг анализирует контур фигуры и пытается подсчитать количество зубцов. Мозг сравнивает количество зубцов фигуры в левой и правой части рисунка, из-за чего возникает ощущение невозможности фигуры. Если количество зубцов у фигуры было значительно больше (например, 7 или 8), то этот парадокс был бы менее ярко выражен.

Изготовление моделей невозможных фигур по чертежам

Трехмерная модель — это физически представимый объект, при рассмотрении которого в пространстве становятся видимыми все щели и изгибы, которые уничтожают иллюзию невозможности, и данная модель теряет свое «волшебство». При проецировании данной модели на двухмерную плоскость получается невозможная фигура. Эта невозможная фигура (в отличие от трехмерной модели), создает впечатление невозможного объекта, который может существовать только в воображении человека, но не в пространстве.

Трибар

Бумажная модель:

Невозможный брусок

Чертеж:

Бумажная модель:

Построение невозможных фигур в программе Impossible Constructor

Программа Impossible Constructor предназначена для конструирования изображений невозможных фигур из кубиков. Основными недостатками этой программы были сложность выбора нужного кубика (отыскать один нужный кубик из 32-х доступных в программе достаточно тяжело), а также то, что не были предусмотрены все варианты кубиков. Предлагаемая программа предоставляет к выбору полный набор кубиков (64 кубика), а также дает более удобный способ нахождения требуемого кубика при помощи конструктора кубиков.

Моделирование невозможных фигур.

Печать 3D моделей невозможных фигур на принтере

В ходе работы модели четырех невозможных фигур распечатаны на 3D принтере.

Треугольник Пенроуза

Процесс создания трибара:

Вот что у меня получилось в итоге:

Куб Эшера

Процесс создания куба: В конечном итоге получена модель:

Лестница Пенроуза (всего через четыре лестничных марша путник оказывается там же, откуда начал движение):

Треугольник Рейтерсвэрда (первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков):

Процесс подготовки к печати дал возможность на практике научиться строить стереометрические фигуры на плоскости, выполнять проекции элементов фигур на заданную плоскость и продумывать алгоритмы построения фигур. Созданные модели помогли наглядно увидеть и проанализировать свойства невозможных фигур, сравнить их с известными стереометрическими фигурами.

«Если не можешь изменить ситуацию, взгляни на нее под другим углом».

Эта цитата непосредственно относится к данной работе. Действительно, невозможные фигуры существуют, если взглянуть на них под определенным углом. Мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Они существуют с древних времен по наше время. Их можно встретить практически везде: в искусстве, архитектуре, в массовой культуре, в живописи, в иконописи, в филателистике. Невозможные фигуры представляют большой интерес для психологов, когнитивистов и эволюционных биологов, помогая больше узнать о нашем зрении и пространственном мышлении. Сегодня компьютерные технологии, виртуальная реальность и проекции расширяют возможности, так что на противоречивые объекты можно взглянуть с новым интересом. Существует множество профессий, которые так или иначе связаны с невозможными фигурами. Все они востребованы в современном мире, а потому изучение невозможных фигур является актуальным и нужным.

Литература:

  1.                Реутерсвард О. Невозможные фигуры. — М.: Стройиздат,1990, 206 с.
  2.                Левитин Карл Геометрическая рапсодия. — М.: Знание, 1984, -176 с.
  3.                Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26
  4.                Ткачева М. В. Вращающиеся кубики. — М.: Дрофа, 2002. — 168 с.
  5.                http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/
  6.                http://www.impworld.narod.ru/.
  7.                Левитин Карл Геометрическая рапсодия. — М.: Знание, 1984, -176 с.
  8.                http://www.geocities.jp/ikemath/3Drireki.htm
  9.                http://im-possible.info/russian/programs/
  10.            https://www.liveinternet.ru/users/irzeis/post181085615
  11.            https://newtonew.com/science/impossible-objects
  12.            http://www.psy.msu.ru/illusion/impossible.html
  13.            http://referatwork.ru/category/iskusstvo/view/73068_nevozmozhnye_figury
  14.            http://geometry-and-art.ru/unn.html

Сегодняшнего дня я открываю новую  рубрику  под  названием “Раскрой”, где буду  выкладывать  чертежи,  шаблоны, а также выкройку оптических иллюзий.  Сегодня мы с вами будем  делать невозможный треугольник с бумаги.   Так как, мы не можем создать  невозможный треугольник, то  будем создавать модель, которую будем рассматривать под определенным углом.

  1. Скачайте и распечатайте шаблон невозможного треугольника
  2. Следуйте инструкцией на картинке

Как правильно  рассматривать  невозможный треугольник?

Так, как иллюзия основана на неоднозначном рисунке куба в изометрической проекции. То в этой ориентации совпадут углы, ближний к зрителю и дальний угол от зрителя. Это означает, что при прохождении  вниз  по  ближайшему  ребру  куба,  и  двух  нижних ребер, мы возвращаемся котправной точке, где на самом деле путь заканчивается в дальнем углу.

Этот невозможный треугольник Пенроуза

В такой сфере живописного искусства, как роспись кожи человека, новейшим трендом сегодня являются фигуры оптических иллюзий, в частности треугольник Пенроуза, или трибар, который еще называют невозможным. Впервые данная форма была открыта, или придумана, шведским живописцем Оскаром Реутерсвардом, который представил ее миру в виде набора из кубиков на рубеже 2019 г. Позднее, уже в 80-х годах нашего века, рисунок трибара был напечатан в Швеции на почтовой марке.

[smartcontrol_youtube_shortcode key=»треугольник Пенроуза» cnt=»2″ col=»2″ shls=»false»]

Однако широчайшую известность образ невозможного треугольника Пенроуза, принадлежащего к категории оптических иллюзий, приобрел в 2019 году, после выхода в свет публикации английского математика Роджера Пенроуза о невозможных фигурах, напечатанной в Британском журнале психологии. Вдохновленный этой публикацией, известный живописец из Голландии Мауриц Эшер сотворил в 2019 г. одну из самых популярных своих работ «Водопад».

Обман зрения

Оптические иллюзии в живописи — это зрительный обман восприятия реальной картины, создаваемый художником определенным расположением линий на плоскости. При этом зрителем неверно оценивается величина углов фигуры или длина ее сторон, что служит предметом изучения таких подразделов психологии, как, например, гештальтотерапия. Созданием оптических иллюзий увлекался, помимо Эшера, еще один великий художник — всемирно известный Сальвадор Дали. Яркой иллюстрацией его увлечения является, например, картина «Лебеди, отражающиеся в слонах».

[smartcontrol_youtube_shortcode key=»Оптические иллюзии треугольник» cnt=»2″ col=»2″ shls=»false»]

Вышеупомянутый треугольник тоже относится к оптическим иллюзиям, точнее к той их части, которая называется невозможные фигуры. Их именуют так из-за ощущения, которое возникает при взгляде на подобную форму, что ее существование в реальном мире просто невозможно.

Применение иллюзий

Благодаря своей уникальной форме иллюзорные объекты служат предметом пристального внимания не только художников и мастеров тату — треугольник, сделанный своими руками или с помощью профессионалов, может выступать также в качестве логотипа компании. Замечательными примерами такого применения иллюзорных форм считаются: логотип музыкальной психоделической группы, играющей фолк-музыку, Conundum in Deed, представляющий собой невозможный куб, или марка компании-производителя микросхем Digilent Inc, являющаяся классическим треугольным образом Пенроуза.

[smartcontrol_youtube_shortcode key=»марка Digilent Inc» cnt=»2″ col=»2″ shls=»false»]

Сделать свой логотип можно и самому, не обращаясь к профессионалам. Для этого достаточно следовать инструкции, придерживаясь которой можно выполнить как простой рисунок на бумаге или в планшете, так и смастерить объемную фигуру. Ее можно будет поместить в качестве вывески или наружной рекламы своего магазина.

Как сделать самому

Пошаговая инструкция, как нарисовать трибар, используя Adobe Illustrator:

  1. Вначале нужно сделать 3 квадратика с помощью Rectangle tool. Для этого предварительно требуется зайти в меню View и включить Smart Guides.
  2. Теперь нужно выделить все и перейти в меню Object, затем — в Transform и открыть Transform each, где в окне Scale нужно проставить значение Vertical Scale = 86,6% и нажать OK.
  3. Теперь нужно задать каждой грани свой угол поворота, а для этого войти в Window открыть Transform. Там сначала проставить значение для скоса (Shear), а потом для поворота (Rotate): верхняя поверхность куба — Shear +30°, Rotate -30°; правая поверхность — Shear +30°, Rotate +30°; левая поверхность — Shear -30°, Rotate -30°.
  4. Теперь с помощью линий Smart Guides нужно состыковать все части куба между собой: для этого следует зацепить мышкой угол одной из сторон и подтянуть его к другой, совместив их.
  5. На этом этапе нужно повернуть куб на 30°: для этого зайти в Object, выбрать Transform и Rotate, там проставить значение угла 30° и нажать OK.
  6. Поскольку для получения трибара понадобится 6 кубиков, следует выделить куб, нажать Alt и Shift и потянуть мышкой выделенный объект в сторону, растягивая его в горизонтальном направлении. Не снимая выделения 6 раз нажать CMD + D. Получили 6 кубов.
  7. Оставив выделение на последнем кубе, нажать Enter и в окне Move изменить значение угла на 240°, после чего нажать Copy. Далее снова нажимать CMD + D до получения 6 копий.
  8. Теперь все повторить: опять нажать Enter, выделить последний кубик, только угол назначить 120° и копий сделать всего 5.
  9. С помощью Selection Tool нужно выделить верхнюю поверхность фигуры (можно ее перекрасить, чтобы было нагляднее), открыть меню Object — Arrange — Send to back. Теперь выбрать окрашенную поверхность верхнего куба, зайти в Object — Arrange — Bring to Front.

[smartcontrol_youtube_shortcode key=»Adobe Illustrator треугольник Пенроуза» cnt=»2″ col=»2″ shls=»false»]

Иллюзия Пенроуза готова. Ее можно разместить на своей страничке в соцсетях или блоге или использовать для бизнеса.

Оглавление.

Введение……………………………………………………………………………..2

Основная часть. Невозможные фигуры……………….…………………………4

2.1. Немного истории………………………………………………………….4

2.2. Виды невозможных фигур……………………………………………….6

2.3. Оскар Рутерсвард – отец невозможной фигуры………………………..11

2.4. Невозможные фигуры – возможны!……………………………………..13

2.5. Применение невозможных фигур………………………………………14

Заключение………………………………………………………………………..15

Список литературы………………………………………………………………16

Введение

С некоторых пор меня заинтересовали такие фигуры, которые на первый взгляд кажутся обычными, а присмотревшись можно увидеть, что что-то в них не так. Основной интерес для меня представляли так называемые невозможные фигуры, посмотрев на которые создается впечатление, что существовать в реальном мире они не могут. Я захотела узнать о них больше.

«Мир невозможных фигур» одна из интереснейших тем, которая получила свое бурное развитее всего лишь в начале ХХ века. Однако, гораздо раньше, многие ученые и философы занимались этим вопросом. Даже такие простые объемные формы, как куб, пирамида, параллелепипед можно представить как комбинацию нескольких фигур, находящихся на разном расстоянии от глаза наблюдателя. Всегда при этом должна быть линия, по которой изображение отдельных частей совмещающих в целостную картину.

«Невозможная фигура – это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть как двухмерное изображение». Это один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.

Передо мной встал вопрос: «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?»

Цели проекта:

1.Выяснить, как создаются нереальные фигуры.

2. Найти области применения невозможных фигур.

Задачи проекта:

1.Изучить литературы по теме «Невозможные фигуры».

2.Составить классификацию невозможных фигур.

3.Рассмотреть способы построения невозможных фигур.

4.Создать невозможную фигуру.

Тема моей работы актуальна ведь понимание парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с нереальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И для развития пространственного воображения оказываются полезными невозможные фигуры. Человек неустанно мысленно создает вокруг себя то, что для него будет просто и понятно. Он даже не может себе представить, что некоторые объекты, окружающие его, могут быть «невозможными». На самом деле мир един, но рассматривать его можно с разных сторон.

Невозможные фигуры

Немного истории

Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах – в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других – с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом.

В средневековой японской и персидской живописи невозможные объекты являются неотъемлемой частью восточного художественного стиля, дающего лишь общий набросок картины, детали которой “приходится” додумывать зрителю самостоятельно, в соответствии со своими предпочтениями. Вот перед нами школа. Наше внимание привлекает архитектурное сооружение на заднем плане, геометрическая противоречивость которого очевидна. Его можно интерпретировать и как внутреннюю стену комнаты, и как наружную стену здания, но обе эти интерпретации неправильны, поскольку мы имеем дело с плоскостью, одновременно являющуюся и внешней, и наружной стенкой, то есть на картине изображен типичный невозможный объект.

Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 2019 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект нереальности.

Виды невозможных фигур.

“Невозможные фигуры” делятся на 4 группы. Итак, первая:

Удивительный треугольник – трибар.

 

Эта – фигура – возможно первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 2019 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как “трехмерную прямоугольную структуру”. Она также получила название “трибар”. С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.

Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара.

Тройной деформированный трибар

Треугольник из 12 кубов

Крылатый трибар

Тройное домино

Бесконечная лестница

Эту фигуру чаще всего называют “Бесконечной лестницей”, “Вечной лестницей” или “Лестницей Пенроуза” – по имени ее создателя. Ее также называют “непрерывно восходящей и нисходящей тропой”.

Впервые эта фигура была опубликована в 2019 году. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

“Бесконечной лестницей” с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей литографии “Восхождение и нисхождение”, созданной в 2019 году.

Лестница с четырьмя или семью ступеньками. На создание этой фигуры с большим количеством ступенек автора могла вдохновить куча обыкновенных железнодорожных шпал. Собравшись взобраться на эту лестницу, вы будете стоять перед выбором: подняться ли по четырем или по семи ступенькам.

 

Создатели этой лестницы воспользовались параллельными линиями при разработке конечных деталей блоков, находящихся на одинаковом расстоянии; кажется, что некоторые блоки перекручиваются, чтобы соответствовать иллюзии.

Космическая вилка.

Следующая группа фигур под общим названием “Космическая вилка”. С этой фигурой мы входим в самую сердцевину и суть невозможного. Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов.

 

Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 2019 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 2019 года. Автор назвал ее “Скобой, состоящей из трех элементов”.

С практической точки зрения этот странный трезубец или механизм в виде скобы, абсолютно неприменим. Некоторые называют его просто “досадной ошибкой”. Один из представителей аэрокосмической промышленности предложил использовать его свойства при конструировании межпространственного космического камертона.

Башня с четырьмя колоннами-близнецами.

Невозможные ящики

Еще один невозможный объект появился в 2019 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с “Сумасшедшим ящиком”. Первоначально автор назвал ее “Свободным ящиком” и заявил, что она была “сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве”.

“Сумасшедший ящик” – это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником “Сумасшедшего ящика” была “Невозможная коробка” (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера.

 

Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно.

Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.

Оскар Рутерсвард – отец невозможной фигуры.

«Отцом» невозможных фигур считается шведский художник Оскар Рутерсвард. Шведский художник Оскар Рутерсвард, специалист по созданию изображений невозможных фигур  утверждал, что плохо разбирается в математике, но, тем не менее, возвел свое искусство в ранг науки, создав целую теорию создания  невозможных фигур по определенному ряду шаблонов.

Он разделил фигуры на две основные группы. Один из них он назвал «истинные невозможные фигуры». Это двухмерные изображения трёхмерных тел, которые на бумаге можно раскрасить и нанести на них тени, но у них нет монолитной и стабильной глубины.

Другой вид – сомнительные невозможные фигуры. Эти фигуры не представляют собой единых цельных тел. Они являются соединением двух или большего числа фигур. Их нельзя ни раскрасить, ни нанести на них свет и тени.

Истинная невозможная фигура состоит из фиксированного количества возможных элементов, а сомнительная «теряет» некоторое количество элементов, если за ними проследить глазами.

Один вариант  этих невозможных фигур очень легко выполнить,  и  многие из тех, кто машинально чертит геометрические

фигуры, когда разговаривает по телефону, это уже не раз делали. Нужно провести пять, шесть или семь параллельных линий, закончить эти линии в разных концах по-разному –  и  невозможная фигура готова. Если, например, провести пять параллельных линий, то  их   можно  закончить как две балки с одной стороны  и  три с другой.

На рисунке мы видим три варианта сомнительных невозможных фигур. Слева трех-семибалочник, построенный из семи линий, в котором три балки превращаются в семь. Фигура в середине, построенная из трех линий, в которой одна балка превращается в два круглых бруса. Фигура справа, построенная из четырех линий, в которой два круглых бруса превращаются в две балки

За свою жизнь Рутерсвард изобразил около 2019 фигур. Книги Рутерсварда опубликованы на многих языках, в том числе на русском.

Невозможные фигуры – возможны!

Многие полагают, что невозможные фигуры действительно невозможны, и их нельзя создать в реальном мире. Но надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги – это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве. Невозможные объекты на картинах представляют собой проекции трехмерных объектов, а значит, объекты можно реализовать в виде скульптурных композиций. Существует множество способов их создания. Один из них – использование кривых линий в качестве сторон невозможного треугольника. Созданная скульптура выглядит невозможной только из единственной точки. Из этой точки кривые стороны выглядят прямыми, и поставленная цель будет достигнута – создан реальный “невозможный ” объект.

Русский художник Анатолий Коненко, наш современник, разделил невозможные фигуры на 2 класса: одни можно смоделировать в реальности, а другие – нельзя. Модели невозможных фигур называются моделями Амес.

Я изготовила модель Амес своего невозможного ящика. Я взяла сорок два кубика и склеила их, получился куб, в котором часть ребра отсутствует. Отмечу, что для создания полной иллюзии необходим правильный угол зрения и верное освещение.

Я изучила невозможные фигуры с применением теоремы Эйлера и пришла к следующему выводу: теорема Эйлера, верная для любого выпуклого многогранника, неверна для невозможных фигур, но верна для их моделей Амес.

Я создаю свои невозможные фигуры, пользуясь советом О.Рутерсварда. Я начертила на бумаге семь параллельных отрезков. Соединила их снизу ломаной линией, а сверху придала им форму параллелепипедов. Посмотрите на нее сначала сверху потом снизу. Таких фигур можно придумать бесконечно много. См. приложение.

Применение невозможных фигур

Невозможные фигуры находят иногда неожиданное применение. Оскар Рутерсвард рассказывает в книге “Omojliga figurer” об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. Психолог Роджер Шепард использовал идею трезубца для своей картины невозможного слона.

В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога.

Невозможные фигуры вдохновили художников на создание целого нового направления в живописи, названного импоссибилизмом. К импоссибилистам относят голландского художника Эшера . Его перу принадлежат известные литографии «Водопад», «Восхождение и нисхождение» и «Бельведер». Художник использовал эффект “бесконечной лестницы”, открытый Рутесвардом.

За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.

Наиболее известное использование невозможных фигур в массовой культуре — логотипавтоконцерна «Рено»

Математики утверждают, что и дворцы, в которых можно спуститься вниз по лестнице, ведущей вверх, могут существовать. Для этого нужно лишь построить такое сооружение не в трехмерном, а, скажем, в четырехмерном пространстве. А уж в виртуальном мире, который открывает нам современная компьютерная техника, и не такое можно натворить. Вот так в наши дни осуществляются задумки человека, который еще на заре века поверил в существование невозможных миров.

Заключение.

Невозможные фигуры заставляют наш разум сначала увидеть то, чего быть не должно, затем искать ответ – что же сделано не так, в чем скрыта изюминка парадокса. А ответ найти порой не так – то просто – он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков.

Развитие науки, необходимость мыслить по-новому, поиски прекрасного – все эти требования современной жизни заставляют искать новые методы, которые способны изменить пространственное мышление, воображение.

Изучив литературу по теме, я смогла ответить на вопрос «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?» Я поняла, что невозможное возможно и нереальные фигуры можно сделать своими руками. Я создала модель Амес «Невозможного куба» и проверила на нем теорему Эйлера. Рассмотрев способы построения невозможных фигур, я смогла нарисовать свои невозможные фигуры. Мне удалось показать, что

Вывод1: Все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире.

Вывод2: Теорема Эйлера, верная для любого выпуклого многогранника, неверна для невозможных фигур, но верна для их моделей Амес.

Вывод3: Найдется ещё много областей, в которых будут использоваться невозможные фигуры.

Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Изучение невозможных фигур имеет довольно важное значение с точки зрения геометрии. Работа может быть использована на занятиях по математике для развития пространственного мышления учащихся. Для творческих людей, склонных к изобретательству, невозможные фигуры являются своеобразным рычагом для создания чего-то нового, необычного.

Список литературы

Левитин Карл Геометрическая рапсодия. – М.: Знание, 1984, -176 с.

Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26

Реутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат,1990, 206 с.

Ткачева М.В. Вращающиеся кубики. – М.: Дрофа, 2002. – 168 с.

http://wikipedia.tomsk.ru

http://www.konenko.net/imp.htm

http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *